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파이썬은 NumPy 라이브러리를 통해 고성능의 수치 연산을 제공하는데 선형 대수 연산에 특히 유용합니다. 행렬 연산을 위해 사용되던 matlab을 대체할 수 있는지는 아직 모르겠으나, 이번에 정리될 내용은 기본적인 선형 대수를 다루기 위한 Numpy의 함수들에 대한 겁니다. NumPy는 다차원 배열인 ndarray 객체를 사용하여 행렬과 벡터를 표현하고 이들 간의 연산을 수행합니다.
1. Numpy 함수들을 이용한 선형 방정식 계산
선형 방정식은 Ax=v와 같이 구성됩니다. A는 NxN 행렬이며 v는 N 벡터입니다. 이와 같은 선형 방정식을 풀기 위해서는 A 행렬 앞에 양변에 A의 역행렬을 곱해야 합니다. 이와 같은 수식계산을 파이썬에서는 아래와 같이 구현할 수 있습니다.
import numpy as np
# 2x2 행렬 생성
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
v = np.array([1, 2])
# 역행렬 계산
A_inv = np.linalg.inv(A)
# 행렬과 벡터의 곱셈
result = np.dot(A_inv, v)
print(result) # [0. 0.5]
위의 코드에서는 A의 역행렬을 구하기 위해 np.linalg.inv(A)를 사용하였고, 행렬과 벡터의 곱을 계산하기 위해 np.dot()를 썼습니다. result의 값은 선형 방정식의 'x'가 됩니다.
2. numpy.linalg.solve() 함수
numpy.linalg.solve 함수는 선형 방정식을 푸는 데 사용되는 NumPy의 함수입니다. 이 함수는 주어진 선형 방정식의 행렬 형태의 계수와 상수 벡터를 입력으로 받아, 선형 방정식의 해를 구합니다.
함수 시그니처는 다음과 같습니다:
numpy.linalg.solve(A, b)
여기서 A는 N x N 크기의 2차원 배열(행렬)이며, 선형 방정식의 계수 행렬을 나타냅니다. b는 N 크기의 1차원 배열(벡터)이며, 선형 방정식의 상수 벡터를 나타냅니다.
numpy.linalg.solve 함수는 주어진 선형 방정식을 푸는 데에 행렬의 역행렬을 사용하지 않고, 효율적인 수치 계산 방법을 사용합니다. 따라서, 행렬이 역행렬을 가지지 않거나 행렬이 정방 행렬이 아니더라도 선형 방정식의 해를 구할 수 있습니다.
함수는 선형 방정식의 해인 x를 반환합니다. x는 N 크기의 1차원 배열(벡터)로, 선형 방정식의 해를 나타냅니다. 만약 선형 방정식의 해가 존재하지 않거나 행렬이 특이 행렬인 경우에는 numpy.linalg.LinAlgError 예외가 발생합니다.
3. np.linalg.solve 함수를 이용한 선형 방정식 계산
np.linalg.solve() 함수를 이용하여 1에서 풀었던 선형 방정식을 다시 계산해 보도록 하겠습니다.
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
v = np.array([1, 2])
result = np.linalg.solve(A, v)
print(result) # [0. 0.5]
위의 예제에서 A는 2x2 크기의 계수 행렬이고 v는 2차원 상수 벡터입니다. np.linalg.solve(A, v)를 사용하여 A와 v에 대한 선형 방정식의 해를 구합니다. 결과로 얻어지는 result는 선형 방정식의 해를 나타내는 벡터입니다.
4. 마치며
파이썬에서 선형 방정식을 풀기 위해 numpy에서 제공하는 linalg 모듈에 대해 조금의 맛을 보았습니다. linalg 모듈의 기본 사용을 위해 2x2의 선형 방정식을 풀어 봤습니다. 이 외에도 선형 대수를 위한 많은 기능들이 있습니다. 이에 대해서는 앞으로 계속 정리하겠습니다.
